为什么“毕达哥拉斯定理“又称为“勾股定理“？
客观地说，从时间上，我们勾股定理的发现要早于西方，这是一个事实。
这个问题，实质上就是文明之争，是文化的话语权之争，是关系到各自的后代对前人遗产的继承问题，是必须要争的问题。
再往大了说，是一个文化自信的问题，是一个民族文化的自豪感的问题。所以，我们的各级学校的教材，只要牵扯到这类问题，都要严谨对待。
我们没有做过的，我们不去强求。但是，我们有过的成绩，一定要继承好。
数学的美是怎样的一种美？
展现数学之美的病态函数
试想一个场景：
有一根细线，
它是无限长的，或者说要多长有多长，
这根线，自始至终都是连续的，从左到右不曾间断。
比如这根弧线：
弧线底部的水平直线，就是弧线的切线。
所谓切线，就是恰好与弧线在切点附近，有且仅有切点这一个交点。
有切线的地方，说明弧线在这附近是光滑的，是没有尖刺的。
如果弧线每一点都有切线（可导），说明弧线处处都光滑。
如上图，如果“弧线”变成尖锐的“折线”，那么，“折点”处就有很多根直线与其只有一个交点，从数学上来说，折点的切线的斜率左右极限是不同的，因此这一点也没有“切线”。
即，折点不是光滑的，它是“尖锐的”，曲线在这一点是不可导的。
当然，如果面条在某处断了，在断点处，也是没有切线的，也是“尖锐粗糙的”。
那么，有没有一种既连续、不曾间断，却每一点都尖锐的线呢？
用数学语言描述即：
是否存在处处连续，却处处不可导的函数？
直觉上来说，一根连续曲线的尖锐点至多是可数的，有限的。
因为一根连续的线，再怎么折，尖锐的部分也应该是有限的，而光滑的、平直的部分是占大多数的。
在尖刺的旁边，我们总是应该可以找到哪怕一小段平滑的部分。
在数学发展史上，数学家们也一直猜测：连续的函数必然是近乎可导的（即：起码有一些光滑的部分），所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。连续函数在其定义域中，应该是除去有限个点外都是可导的。
一根线不可能处处都尖锐吧？
1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（集合论大师康托尔的导师）利用函数项级数构造出了一个病态函数，为上述猜测做了一个终结，函数数学描述如下：
这个函数逆天在于，
它处处连续，却又处处不可导简而言之，它的尖刺折点是如此之多，以至于无论你放多大，在多细微的尺度观察任何一段，函数图像都不会显得更加光滑，它处处都是尖锐的。
这怎么可能？
它的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872在普鲁士科学院出版的一篇论文中，我们现在称它为魏尔斯特拉斯函数。
说它病态，是因为它是一种不可测函数。
你无法用笔画出任何一部分图像的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人将无法知道每一点该朝哪个方向画。
通过计算机逐点描绘，函数图像是这样的：
该反例构造出来后，在数学界引起极大的震动。
因为对于此类病态函数，传统的数学方法已无能为力。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。
随后，这个例子促成了一门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指某图案的局部与整体具有相似性。这种性质又称为“自相似”。
反常的病态函数是极少数特例吗？分析学的成果表明，尽管它们“反常”，但病态函数事实上不在“少数”，甚至比那些“健康”的函数“多得多”。
例如：
狄利克雷函数——定义在整个连续实数域(-∞,+∞)，却处处不连续；
爆米花函数（Thomae'sfunction）——处处极限为0，但在任意小区间中，都包含着无数个值不为0的点。
必须要指出，类似魏尔斯特拉斯函数的例子历史上并不是老魏第一个提出的。
在他之前，数学分析严谨化的另一位推动者——捷克数学家波尔查诺，在他1834年撰写但未完成的著作《函数论》中，首次给出了一个处处连续但处处不可导函数的例子，但他并未给出函数的解析表达式，且遗憾的是，他的贡献多半被他的同时代的人所忽视，许多成果若干年后才被发现，但功劳已被抢占或只能与别人分享了。
诺诺心里苦啊！
直觉不一定科学你看，经过几千年的进化，人类自身还是倾向于相信直觉，“所见即所得”在大多数情况下依然相当有说服力。比如下面这些看起来都像是天然正确、不容置疑的：
光线永远是沿直线传播的；
任何地方的时间是同步的；
只要不断加速，物体的速度是没有限制的。
幸好，我们还有数学。
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数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？
在数字彩票中，存在着一种特殊的数字和数组：反码数
其验证和推算就是很简单，而且可以得到一一对应的反码数，这里教三种方法，一个比一个简单，看完说不定你很快就学会推出反码数。
以比较流行的双色球和大乐透为例
所谓反码数：个位数与十位数互换，互换后＞33（双色球红球最大数是33）的，要减去33或33的二倍数66。三组反码红球0220,1628，蓝球0704
如近期大乐透（0220）就是反码数同出，个位数与十位数互换
如16→28
按公式来16→61大于33
61-33=28
反过来
28→82-33=59还大于33
59-33=16
化简就是82-66=16
16和28可以相互推导，所以叫做反码数，简称反码。
还有一组特殊反码：112233，他们个位数与十位数相同，互换后还是其本身。所以把他们归为一组，俗称特殊反码三胞胎，他们也喜欢在某段时候同时出没！
有人会反问？大乐透有35个红球，如果互换后大于35，再减去35或其2倍70，还能得到一一对应的反码数吗？
答：不一定得到一一对应的反码数
除了010203,111213,20212223，313233，他们互换后反码都小于35，其他的互换后都大于35了
那我们可以验证一下
如
14→41-35=07→70-35=35→53-35=18→81-70=11
长长的一串数字，反推回来还是推不回来14.所以不要自作聪明非得-35.
有一种比较好的方法把3435归到（011034）和（022035）内，也称反码三胞胎
推导还是要-33
34大于33
所以34-33=01
互换后43-33=10
而0110又是反码
所以把34与0110互为反码数
同样的方法也可以推出35与0220互为反码数
反码数在彩票中的妙用①反码数同出，容易出现重号或落号如近期的大乐透0220同出后，第二期两个都重号了
②反码十字加减法也能推出一一对应的反码数
如
1925
0220
上下对应相加
19+02=21
25+20=45，大于33，45-33=12
2112互为反码数
上下对应相减
19-02=17
25-20=05
0517互为反码数05→50-33=17,17→71-33-33=05
③姊妹反码互推法也能推出一一对应的反码数
如0407是互为反码数
04→40-33=07
07→70-66=04
0407的间距是3,07-04=3
用数组推号公式：左减间距，右加间距
04-3=01←（0407）→07+3=10
01和10互为反码数
当你继续推的时候会发现
左边是31右边是13，也是互为反码数
01-3=-2，-2+33=31
这和常见的012路一样，只要你记得
1路的0407反码组
2路的2629反码组
0路的1518反码组
左减3，右加3，就可以推出相应的反码组
这样更容易记忆
以上是官旺老师教我的数字密码，分享给大家，希望在思路上有点启发，有所收获！
感谢官旺老师！
高中数学究竟难在哪里？如何突破？
你好，我是一名北大在读博士，当过8年高中生家教。
我是2010级山东考生，当年682的分数考入北京大学，我进入大学之后就开始了高中生家教，主要帮助高中生在数学和理科科目的学习。根据高中生在学习中遇到的问题，我写了一本书《直击高考漏洞》，书里对历年高考考试大纲进行整理及汇总，得出高考命题趋势及高考出题人出题方向及出错点。
这本书帮助高中生突破在数学学习中的瓶颈，帮助高中生实现在高中学习上的逆袭，如果有需要领取这本书的学生，私信：领书，就可以免费获取。
我高一第一次考试，数学只考了90分，但是经过几年的学习，我高考当年，数学考了145分，只错了一道选择题，而且一开始我选的是对的，但是在后来检查的过程中，出现了一些问题，又选了错误的答案。其实我数学成绩能有一个这么大幅度的提升，主要在于我在数学学习中，善于总结一些数学学习方法，记得当时我跟同学经常会讨论一些数学快速答题技巧，大家都会根据自己的经验去整理一些数学做题方法，然后互相交流。
所以高中数学其实并没有我们想象中的难。因为高考数学有80%的知识是对基础知识的考查，也就是说你掌握了这些容易和中等的题型，你的数学至少能考120分。而大部分的高中生，数学成绩是在90—105之间。
那那些认为高中数学题难的人，数学究竟难在哪些地方呢？
首先，数学是一个技巧性很强的科目。很多知识都需要你举一反三，这就是很多学生为什么能在课上听懂老师讲的内容，而在课后做题的时候，总是不会做。比如你今天学习了一个求函数的定义域，那么你不仅仅只掌握这个知识，还需要对相关的知识点进行灵活运用。
其次，数学难主要是最后的一个大题，很多学生都写不出来，最后一个题都是考查导数的知识。大部分同学只能算出几步出来，在考场中，你把自己能写出来的步骤先写出来，拿到步骤分，也是十分关键。我以前针对导数这个问题，整理了一个导数六步法，把导数大题化成小题。
最后，数学需要大量的练习与刷题。你在高考前，把历年的高考题都做一遍，相关的模拟题复习题都做一遍，之前的错题都能查漏补缺，纠正过来，你的数学分数绝对不会低于125分。你题型见多了，高考数学就考那些题型，当看到一张试卷的时候，觉得所有的题都见过，也不会出现下笔难的局面。
突破数学需要掌握一定的数学技巧与做题策略，而高考数学都是有技巧，而不是一味地刷题。
如果你现在正在高考冲刺，数学学习中遇到困难与瓶颈，私信：方法，就可以领取高考数学解题策略及技巧。
刘微数学家的介绍？
世界十大数学家是：1.欧几里得、2.刘微、3.秦九韶、4.笛卡尔、5.费马、6.莱布尼茨、7.欧拉、8.拉格朗日、9.高斯、10.希尔伯特
1.欧几里德(EuclidofAlexandria)，希腊数学家。约生于公元前330年，约殁于公元前260年。
欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书，书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有很大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。
欧几里得(活动于约前300-?)
古希腊数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯（约500）记述了另一则故事,说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。
欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
欧几里德的《几何原本》中收录了23个定义，5个公理，5个公设，并以此推导出48个命题（第一卷）。
2.刘徽生平
(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。
著作
刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有：
《九章算术注》10卷；
《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；
《九章重差图》l卷，可惜后两种都在宋代失传。
数学成就
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率
他在《九章算术?圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
②刘徽原理
在《九章算术?阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说
在《九章算术?开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
④方程新术
在《九章算术?方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。
⑤重差术
在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
贡献和地位
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
费马
费马（1601～1665）
Fermat，Pierrede
费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。
费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。
费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
17世纪的法国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。
鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也使政府的财政状况得以好转。因此到了17世纪，除宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日，法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质。法国的买官特产，使许多中产阶级从中受惠，费马也不例外。费马尚没有大学毕业，便在博蒙·德·洛马涅买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。
尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职，而且逐年得到提升，但是据记载，费马并没有什么政绩，应付官场的能力也极普通，更谈不上什么领导才能。不过，费马并未因此而中断升迁。在费马任了七年地方议会议员之后，升任了调查参议员，这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。
1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。
费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。
费马生有三女二男，除了大女儿克拉莱出嫁之外，四个子女都使费马感到体面。两个女儿当上了牧师，次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特·萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师，而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。从这个意义上说，萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。
对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。
费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。
费马一生身体健康，只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于1月l0日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯公墓，后来改葬在图卢兹的家族墓地中。
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。
17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠，由于几何学的新方法—代数方法在几何学上的应用，直接导致了解析几何的诞生；射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域；由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学，使几何学产生了新的研究方向，并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的，费马就是其中的一位。
对解析几何的贡献
费马独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
《平面与立体轨迹引论》》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。
在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。
对微积分的贡献
16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。
曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
对概率论的贡献
早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。
费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。
一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。
对数论的贡献
17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
对光学的贡献
费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是欧拉，竞用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。
